軸の直交と虚軸関係




軸の直交には虚数を用いるのが便利です

2次元は
(kr)^2=(ix)^2+(jy)^2
r:半径、xy:実部、ijk:虚部

何でこんな風にするかというと

回転行列は
|cosθ〇-sinθ|=R(θ)
|sinθ〇cosθ|
回転行列の積は
|cosφ〇-sinφ||cosθ〇-sinθ|=R(φ)R(θ)
|sinφ〇cosφ||sinθ〇cosθ|
計算すると
|cosφcosθ-sinφsinθ〇-cosφsinθ-sinφcosθ|
|sinφcosθ+cosφsinθ〇-sinφsinθ+cosφcosθ|
加法定理より
|cos(θ+φ)〇-sin(θ+φ)|=R(φ)R(θ)
|sin(θ+φ)〇cos(θ+φ)|
だからφ=θならば
|cos(2θ)〇-sin(2θ)|=R^2(θ)=R(2θ)
|sin(2θ)〇cos(2θ)|
2回θ回転するんだから2θもそりゃそうですね
ここでθ=π/2の時
|-1〇0|=R^2(π/2)=R(π)=-I
|0〇-1|
つまりθ=π/2回転において回転の2乗は-1倍の単位行列Iです
このことから虚軸とは実軸からπ/2回転しているということです
こういうことを考えると

(kr)^2=(ix)^2+(jy)^2
r:半径、xy:実部、ijk:虚部

と2次元はこんな感じになるんです

まぁ、こんな長ったらしい説明じゃなくても

π/2を2回回転する時、結局πの回転だから負の単位行列になり

つまり直交軸とは虚軸(X^2=R^2(π/2)=-I)である

なんだけれどね


また、軸の直交とは
内積dot=|x||y|cosθ
であり
例えばxのy軸回転において
π/2回転はdot=0
π/2回転の２回回転のπ回転はdot=-1

になるよんってことなんす

と、もちろん内積からも言えるん

だから、要するに軸に虚数単位をかけて、虚軸にしてやれば、軸同士は直交関係にあり
また虚軸であるからπ/2２回回転のπ回転は-Iであるということなん


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