3次元空間運動記述
オブジェクト位置情報
位置4*4マトリクス(継続パラメータ)
A=
(x0,y0,z0,px) (x軸)
(x1,y1,z1,py) (y軸)
(x2,y2,z2,pz) (z軸)
(xw,yw,zw,pw) (w軸)
速度ｖ(継続パラメータ),
START:
加速度a,(新規パラメータ)
ピッチヨーロール(θp,θy,θr)(新規パラメータ)
外積関係
A[2][]=A[0][]×A[1][],A[0][]=A[1][]×A[2][],A[1][]=A[2][]×A[0][]
クォータニオンピッチqp=cos(θp/2)+A[0][]sin(θp/2)
クォータニオンヨーqy=cos(θy/2)+A[1][]sin(θy/2)
クォータニオンロールqr=cos(θr/2)+A[2][]sin(θr/2)
q'=qpqyqr
v'=v+a
B=
A[0][]
A[1][]
A[2][]
(0,0,0,1)
B[0][3]=0
B[1][3]=0
B[2][3]=0
A'=q'Bq'^-1
TA'=Transpose(A')
TA'[3][]=v'A'[2][]+TA'[3][]
A'=Transpose(TA')
v=v'
A=A'
GOTO START
特殊相対性理論
導出
地上から見た物体Aの時刻tA、地上から見た物体Aの速度vA
地上から見た物体Aの位置LA=vAtA
τA^2=(1/γA)^2tA^2
=(1-vA^2/c^2)tA^2
tA^2=τA^2/(1-vA^2/c^2)
tA=τA/√(1-vA^2/c^2)
地上から見た物体Bの時刻tB、地上から見た物体Bの速度vB
地上から見た物体Bの位置LB=vBtB
τB^2=(1/γB)^2tB^2
=(1-vB^2/c^2)tB^2
tB^2=τB^2/(1-vB^2/c^2)
tB=τB/√(1-vB^2/c^2)
ここで世界点が同じの時、tA=tB=t
↑地上から見た物体Aの運動時間＝地上から見た物体Bの運動時間
二つの物体の時空方程式：
t=tA=tB=τA/√(1-vA^2/c^2)=τB/√(1-vB^2/c^2)
τA/√(1-vA^2/c^2)=τB/√(1-vB^2/c^2)
τA/√(c^2-vA^2)=τB/√(c^2-vB^2)
τA/√(c^2-LA^2/t^2)=τB/√(c^2-LB^2/t^2)
また、LA=vAt,LB=vBt、です
τA/√(c^2-vA^2)=τB/√(c^2-vB^2)
LA=vAt,LB=vBt
↑から↓を求める
τB=(τA/√(c^2-vA^2))√(c^2-vB^2)
τB=(τA/√(c^2-LA^2/t^2))√(c^2-LB^2/t^2)
vB=√(c-τB^2/(τA^2/(c^2-vA^2)))
LB=t√(c^2-τB^2/(τA^2/(c^2-LA^2/t^2)))
・一般相対論化
α：二つの衛星ABの同時間の固有時を考える
無限遠の時間tA、万有引力定数G、光速度c、
重力源の質量MA、重力源の半径RA、
重力源のシュバルツシルト半径rgA=2GMA/c^2、
衛星軌道を巡っている物体の固有時τA、
衛星軌道を巡っている物体の重力源中心からの距離rA、
衛星軌道を巡っている物体の速度vA(=√(GMA/rA))
τA=tA√(1-rgA/rA)√(1-vA^2/c^2)
tA=τA/(√(1-rgA/rA)√(1-vA^2/c^2))
無限遠の時間tB、重力源の質量MB、重力源の半径RB、
重力源のシュバルツシルト半径rgB=2GMB/c^2、
衛星軌道を巡っている物体の固有時τB、
衛星軌道を巡っている物体の重力源中心からの距離rB、
衛星軌道を巡っている物体の速度vB(=√(GMB/rB))
τB=tB√(1-rgB/rB)√(1-vB^2/c^2)
tB=τB/(√(1-rgB/rB)√(1-vB^2/c^2))
αより
t=tA=tB=τA/(√(1-rgA/rA)√(1-vA^2/c^2))=τB/(√(1-rgB/rB)√(1-vB^2/c^2))
二つの衛星の時空方程式：
τA/(√(1-rgA/rA)√(1-vA^2/c^2))=τB/(√(1-rgB/rB)√(1-vB^2/c^2))
↑から↓を求める
τB=τA(√(1-rgB/rB)√(1-vB^2/c^2))/(√(1-rgA/rA)√(1-vA^2/c^2))
GPS衛星、速度は地球に対して毎秒約4000m。軌道は地球中心から26556752m
特殊相対性理論の効果によりGPS衛星の原子時計は１日に7.2マイクロ秒ほど遅れます。
一般相対性理論の効果から今度は１日あたり45.6マイクロ秒、時間が進む。
差し引きで38.4マイクロ秒、時間が進んでしまいます。
二つの衛星の時空方程式：
τA/(√(1-rgA/rA)√(1-vA^2/c^2))=τB/(√(1-rgB/rB)√(1-vB^2/c^2))
τB=τA((√(1-rgB/rB)√(1-vB^2/c^2)))/(√(1-rgA/rA)√(1-vA^2/c^2))
τA=1day=24*60*60=86400[s],光速度：c=299792458[m/s]、万有引力定数G=6.67259e-11[m^3/kgs^2]、
地球の質量MA=5.9736e+24[kg]、地球の半径rA=6.356752e+6[m]、
地球のシュバルツシルト半径rgA=2GMA/c^2=7.97188e+14/c^2=8.86991e-3[m]、地球の自転速度vA=4.62276e+2[m/s]
GPS衛星の速度vB=4000[m/s],GPS衛星の軌道rB=26556752[m]
τB=τA((√(1-rgB/rB)√(1-vB^2/c^2)))/(√(1-rgA/rA)√(1-vA^2/c^2))
=(86400)((√(1-(8.86991e-3)/(26556752))√(1-(4000)^2/(299792458)^2)))/(√(1-(8.86991e-3)/(6.356752e+6))√(1-(4.62276e+2)^2/(299792458)^2))
=(86400)((0.99999999983300)(0.999999999910988))/((0.99999999930232)(0.9999999999988111))
=86400.000038263[s]
特殊相対性理論効果
τB=(86400)((0.999999999910988))/((0.9999999999988111))
=86399.9999924121[s]
86399.9999924121-86400=-7.58792e-6[s]
一般相対性理論効果
τB=(86400)((0.99999999983300))/((0.99999999930232))
=86400.000045851[s]
86400.000045851-86400=4.5851e-5[s]
二つの衛星の時空方程式：
τA/(√(1-rgA/rA)√(1-vA^2/c^2))=τB/(√(1-rgB/rB)√(1-vB^2/c^2))
τB=τA((√(1-rgB/rB)√(1-vB^2/c^2)))/(√(1-rgA/rA)√(1-vA^2/c^2))
τA=1day=24*60*60=86400[s],光速度：c=299792458[m/s]、万有引力定数G=6.67259e-11[m^3/kgs^2]、
地球の質量MA=5.9736e+24[kg]、地球の半径rA=6.356752e+6[m]、
地球のシュバルツシルト半径rgA=2GMA/c^2=7.97188e+14/c^2=8.86991e-3[m]、地球の自転速度vA=4.62276e+2[m/s]
月の速度vB=1022[m/s],月の軌道rB=384400000[m]
τB=τA((√(1-rgB/rB)√(1-vB^2/c^2)))/(√(1-rgA/rA)√(1-vA^2/c^2))
=(86400)((√(1-(8.86991e-3)/(384400000))√(1-(1022)^2/(299792458)^2)))/(√(1-(8.86991e-3)/(6.356752e+6))√(1-(4.62276e+2)^2/(299792458)^2))
=(86400)((0.999999999988463)(0.9999999999941893))/((0.99999999930232)(0.9999999999988111))
=86400.000058883[s]
二つの衛星の時空方程式：
τA/(√(1-rgA/rA)√(1-vA^2/c^2))=τB/(√(1-rgB/rB)√(1-vB^2/c^2))
τB=τA((√(1-rgB/rB)√(1-vB^2/c^2)))/(√(1-rgA/rA)√(1-vA^2/c^2))
τA=86400.000038263[s],光速度：c=299792458[m/s]、万有引力定数G=6.67259e-11[m^3/kgs^2]、
地球の質量MA=5.9736e+24[kg]、地球のシュバルツシルト半径rgA=2GMA/c^2=7.97188e+14/c^2=8.86991e-3[m]、
GPS衛星の速度vA=4000[m/s],GPS衛星の軌道rA=26556752[m]
月の速度vB=1022[m/s],月の軌道rB=384400000[m]
τB=τA((√(1-rgB/rB)√(1-vB^2/c^2)))/(√(1-rgA/rA)√(1-vA^2/c^2))
=(86400.000038263)((√(1-(8.86991e-3)/(384400000))√(1-(1022)^2/(299792458)^2)))/(√(1-(8.86991e-3)/(26556752))√(1-(4000)^2/(299792458)^2))
=(86400.000038263)((0.999999999988463)(0.9999999999941893))/((0.99999999983300)(0.999999999910988))
=86400.000058884[s]
・双子のパラドックスの問題
pD(0,0,0)vD(0,0,0)
pXはDから見た座標
vXはDから見た速度
pA(-1000c,0,0)vA(1/2c,0,0)
pB(0,-1000/2c,0)vB(0,1/4c,0)
pC(0,0,-1000/4c)vC(0,0,1/8c)
ABCD静止
Dの人がpD(0,0,0)で光を出して、
Aはその光を見たらすぐ
Bはその光を見たら500秒後
Cはその光を見たら750秒後
にvXで動いて
pD(0,0,0)で出会ったときにそれぞれの移動中の時間の時計を見比べる
解答
τA=2000√(1-(1/2)^2)=1732.0508[s]
τB=2000√(1-(1/4)^2)=1936.4917[s]
τC=2000√(1-(1/8)^2)=1984.3135[s]
τD=2000√(1-(0)^2)=2000[s]
・時空方程式を用いて
>tA=2000,vA=0,vB=1/2c
>tB^2=(tA^2/(c^2-vA^2))(c^2-vB^2)
>=((2000)^2/(c^2-0^2))(c^2-(1/2c)^2)=3000000
>tB=1732.0508
tA=1732.0508
>tA=1732.0508,vA=1/2c,vB=1/4c
>tB^2=(tA^2/(c^2-vA^2))(c^2-vB^2)
>=((1732.0508)^2/(c^2-(1/2)^2))(c^2-(1/4c)^2)=3750000
>tB=1936.4917
tB=1936.4917
>tA=1936.4917,vA=1/4c,vB=1/8c
>tB^2=(tA^2/(c^2-vA^2))(c^2-vB^2)
>=((1936.4917)^2/(c^2-(1/4)^2))(c^2-(1/8c)^2)=3937500
>tB=1984.3135
tC=1984.3135
>tA=1732.0508,vA=1/2c,vB=1/8c
>tB^2=(tA^2/(c^2-vA^2))(c^2-vB^2)
>=((1732.0508)^2/(c^2-(1/2)^2))(c^2-(1/8c)^2)=3937500
>tB=1984.3135
tC=1984.3135
tA=1732.0508s
tB=1936.4917s
tC=1984.3135s
tD=2000s
同時間の問題は固有時を求めるときに無限遠の時間tで解いた式を連立させると計算が楽です。
丸める前
・一般相対論化
α：二つの衛星ABの同時間の固有時を考える
無限遠の時間t、万有引力定数G、光速度c、
重力源の質量MA、重力源の半径RA、
重力源のシュバルツシルト半径rgA=2GMA/c^2、
衛星軌道を巡っている物体の固有時τA、
衛星軌道を巡っている物体の重力源中心からの距離rA、
衛星軌道を巡っている物体の速度vA(=√(GMA/rA))
τA=t√(1-rgA/rA-(vA/c)^2)
t=τA/(√(1-rgA/rA-(vA/c)^2))
重力源の質量MB、重力源の半径RB、
重力源のシュバルツシルト半径rgB=2GMB/c^2、
衛星軌道を巡っている物体の固有時τB、
衛星軌道を巡っている物体の重力源中心からの距離rB、
衛星軌道を巡っている物体の速度vB(=√(GMB/rB))
τB=t√(1-rgB/rB-(vB/c)^2)
t=τB/(√(1-rgB/rB-(vB/c)^2))
αより
t=τA/(√(1-rgA/rA-(vA/c)^2))=τB/(√(1-rgB/rB-(vB/c)^2))
二つの衛星の時空方程式：
τA/(√(1-rgA/rA-(vA/c)^2))=τB/(√(1-rgB/rB-(vB/c)^2))
τA=1day=24*60*60=86400[s],光速度：c=299792458[m/s]、万有引力定数G=6.67259e-11[m^3/kgs^2]、
地球の質量MA=5.9736e+24[kg]、地球の半径rA=6.356752e+6[m]、
地球のシュバルツシルト半径rgA=2GMA/c^2=7.97188e+14/c^2=8.86991e-3[m]、地球の自転速度vA=4.62276e+2[m/s]
GPS衛星の速度vB=4000[m/s],GPS衛星の軌道rB=26556752[m],τB=86400.000038263[s]
無限遠の時間t
t=τA/(√(1-rgA/rA-vA^2/c^2)
=(86400)/(√(1-(8.86991e-3)/(6.356752e+6)-(4.62276e+2)^2/(299792458)^2))
=(86400)/(0.999999999301)
=86400.000060393600[s]
t=τB/(√(1-rgB/rB-vB^2/c^2)))
=(86400.000038263)/(√(1-(8.86991e-3)/(26556752)-(4000)^2/(299792458)^2))
=(86400.000038263)/(0.999999999744)
=86400.000060381400[s]
e-7の精度
二つの衛星の時空方程式：
τA/(√(1-rgA/rA-vA^2/c^2))=τB/(√(1-rgB/rB-vB^2/c^2))
τA=1day=24*60*60=86400[s],光速度：c=299792458[m/s]、万有引力定数G=6.67259e-11[m^3/kgs^2]、
地球の質量MA=5.9736e+24[kg]、地球の半径rA=6.356752e+6[m]、
地球のシュバルツシルト半径rgA=2GMA/c^2=7.97188e+14/c^2=8.86991e-3[m]、地球の自転速度vA=4.62276e+2[m/s]
GPS衛星の速度vB=4000[m/s],GPS衛星の軌道rB=26556752[m],τB=86400.000038263[s]
τBを求める
t=τA/(√(1-rgA/rA-vA^2/c^2)=τB/(√(1-rgB/rB-vB^2/c^2)))
τB=τA(√(1-rgB/rB-vB^2/c^2)))/(√(1-rgA/rA-vA^2/c^2)
=(86400)(√(1-(8.86991e-3)/(26556752)-(4000)^2/(299792458)^2))/(√(1-(8.86991e-3)/(6.356752e+6)-(4.62276e+2)^2/(299792458)^2))
=(86400)(0.999999999744)/(0.999999999301)
=86400.000038275[s]
固有時同士は同時の相対性により比較できない
しかし、出来事A、Bとの距離無限遠Cをみると
Cから見てA、Bは同じ位置と等価なので同時の相対性はなくなる
ゆえに二つの衛星の時空方程式：
t=τA/(√(1-rgA/rA-(vA/c)^2))=τB/(√(1-rgB/rB-(vB/c)^2))
これで固有時を比較できるというわけだ
神の縮退宇宙論 まとめ
落ちるものA外から見るものBまた落ちていくにつれ縮退していく
実際の速度A＞B
時間感覚(1sと感じる時間)A＞B
見た目の光速度A＜B
時間感覚(1sと見れる時間)A＜B
落ちるものの時間感覚的な話は
ブラックホールに落ちるものを外から実感すると一瞬で落ちる
ブラックホールに落ちるものから外を実感するとなかなか落ちない
ブラックホールに落ちるものを外から光で感じるとなかなか落ちない
ブラックホールに落ちるものから外を光で感じると一瞬で落ちる
だろ
ということで、我々はブラックホール（神）に落ちていて時間感覚が引き伸ばされているでいいんじゃね
エネルギー保存則の問題をクリアしたし、中から外を見たら一様に見えるのが背景輻射ということで、自由落下だから無重力状態
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8B%E8%B1%A1%E3%81%AE%E5%9C%B0%E5%B9%B3%E9%9D%A2
一般相対性理論において、ブラックホールを厳密に定義すると、
「情報の伝達が一方的な事象の地平面が存在し、 漸近的に平坦ではない方の時空の領域」 ということになる。
ひるがえって膨張宇宙論を見てみようか
ハッブル時間の138億年は越えられない、つまり光は脱出できない
光が脱出できない空間のことをブラックホールと呼ぶのではなかったのか？
写真を撮ってネガとポジは同一ということです
138億光年のシュバルツシルト半径の質量を求めてみる
G=0.0000000000667384:2G=0.0000000001334768:c^2=89875517873681764
9.4605284e+15*138e8=1.3055529192e+26=2Gm/c^2
m=8.7908344165126077222412785442863e+52
観測可能な宇宙の星の総質量
M=3e+52 kg
m/M=2.93
膨張宇宙論
ダークマター96%
96/4=24
プラズマ宇宙論でハッブル数のシュワルツシルト半径の星の総質量がブラックホールを形成する
この方がダークマターという意味不明な設定するよりも無理がないです
コンテナポインタ.main.cpp
コンテナポインタ.h
ツリーコレクション.h
コンソール迷路.cpp
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