相対論クォータニオン


ij=-ji=k
jk=-kj=i
ki=-ik=j
li=ljk=-lkj=-il=-jkl=kjl=i
lj=lki=-lik=-jl=-kil=ikl=j
lk=lij=-lji=-kl=-ijl=jil=k
i^2=j^2=k^2=l^2=-1
と設定し

r^2=(ctl+xi+yj+zk)(ctl+xi+yj+zk)
=((ctl)^2+xctli+yctlj+zctlk)+(xctil+(xi)^2+xyij+xzik)+(yctjl+yxji+(yj)^2+yzjk)+(zctkl+zxki+zykj+(zk)^2)
=(ctl)^2+(xi)^2+(yj)^2+(zk)^2

相対論クォータニオン
r=ctl+xi+yj+zk
と定義する

積
r1r2=(ct1l+x1i+y1j+z1k)(ct2l+x2i+y2j+z2k)
=(t1t2(cl)^2+x2ct1li+y2ct1lj+z2ct1lk)+(x1ct2il+x1x2(i)^2+x1y2ij+x1z2ik)+(y1ct2jl+y1x2ji+y1y2(j)^2+y1z2jk)+(z1ct2kl+z1x2ki+z1y2kj+z1z2(k)^2)
=-(t1t2(c)^2+x1x2+y1y2+z1z2)
+(x2ct1-x1ct2+y1z2-z1y2)i
+(y2ct1-y1ct2+z1x2-x1z2)j
+(z2ct1-z1ct2+x1y2-y1x2)k

証明
r^2=-((ct)^2+(x)^2+(y)^2+(z)^2)+(xct-xct+yz-zy)i+(yct-yct+zx-xz)j+(zct-zct+xy-yx)k
=(ctl)^2+(xi)^2+(yj)^2+(zk)^2


共役
~r=-r=-ctl-xi-yj-zk

参考
-r=-r(r^2/r^2)

r(-r)=(ctl+xi+yj+zk)(-ctl-xi-yj-zk)
=(-(ctl)^2-xctli-yctlj-zctlk)+(-xctil-(xi)^2-xyij-xzik)+(-yctjl-yxji-(yj)^2-yzjk)+(-zctkl-zxki-zykj-(zk)^2)
=-((ctl)^2+(xi)^2+(yj)^2+(zk)^2)
=-r^2

rrr=(ctl+xi+yj+zk)(ctl+xi+yj+zk)(ctl+xi+yj+zk)
=r^2(ctl+xi+yj+zk)
=r^2r

(-r)r=(-r(r^2/r^2))(r(r^2/r^2))
=-r^2


逆元
r^-1=-~r/r^2=(-(-r)/r^2)

証明
rr^-1=r(-(-r)/r^2)=(-r(-r)/r^2)=(-(-r^2)/r^2)=1


回転
P'=ψr(P)=rPr^-1

証明
|ψr(P)|=|P||r||r^-1|=|P||r||(-|~r|/r^2)=|P|(-(-|r|^2)/r^2)=|P|
ゆえに長さを保存する

ψr(P1)ψr(P2)=rP1r^-1rP2r^-1=rP1P2r^-1=ψr(P1P2)

rPr^-1=(ctl+xi+yj+zk)P(-(-ctl-xi-yj-zk)/((ctl)^2+(xi)^2+(yj)^2+(zk)^2))
=(ctlP+xiP+yjP+zkP)(-(-ctl-xi-yj-zk)/((ctl)^2+(xi)^2+(yj)^2+(zk)^2))
=-(P(-(ctl)^2-(xi)^2-(yj)^2-(zk)^2)/((ctl)^2+(xi)^2+(yj)^2+(zk)^2))
=P((ctl)^2+(xi)^2+(yj)^2+(zk)^2)/((ctl)^2+(xi)^2+(yj)^2+(zk)^2)
=P

逆行列
P'=ψr(P)=rPr^-1
P=ψr^-1(P')=ψr(P')/r=(rP'r^-1)/r=P'/r
ゆえに、書き換えて
P'=ψr^-1(P)=(rPr^-1)/r=P/r


以上は 相対論クォータニオン
r=ctl+xi+yj+zk
r^2=(ctl)^2+(xi)^2+(yj)^2+(zk)^2
の定義から
相対論におけるローレンツ変換に他ならないから、xブーストは
β=V/cとして、

P'=ψr(P)=

|1/√(1-β^2)　　-β/√(1-β^2)　0　0|　｜ ｜

|-β/√(1-β^2)　1/√(1-β^2)　　0　0|　｜P｜

|0　　　　　　　　0　　　　　　　1　0|　｜ ｜

|0　　　　　　　　0　　　　　　　0　1|　｜ ｜
=<1/√(1-β^2)Pt-β/√(1-β^2)Px,-β/√(1-β^2)Pt+1/√(1-β^2)Px,Py,Pz>

P'=ψr(P)=rPr^-1= <1/√(1-β^2)Pt-β/√(1-β^2)Px,-β/√(1-β^2)Pt+1/√(1-β^2)Px,Py,Pz>

P=ψr^-1(P')=r^-1P'r=-(~r/r^2)P'r=P'-(~r/r^2)r=
<√(1-β^2)Pt'-√(1-β^2)Px'/β,-√(1-β^2)Pt'/β+√(1-β^2)Px',Py',Pz'>



水星の近日点移動

水星
離心率 e=0.2056
近日点距離 RA1(AU) =0.3075
遠日点距離 RA2(AU) =0.4667
衛星軌道長半径 L(m) =57910000000.0
質量 M2(kg) =3.301e+23
公転周期 P(年) =0.2409
公転周期 P(s) =7602017.0
重力源質量 M1(kg) =1.989e+30
近日点移動dP'(度) =0.0016
近日点移動dP(s) =7602017.0*1.0016=7614180.0
平均速度 V(m/s) =47872.5
光速度 c(m/s) =299792458.0

相対論クォータニオン

u=1/r
ケプラーの法則
u''+u=kM/H^2=mGM/r^2=mg
を参照

シュワルツシルトの線素は
ds^2=(1-2m/r)cdt^2-dr^2/(1-2m/r)-r^2dθ-r^2sin^2θdψ^2　＊1

惑星軌道は測地線
d^2x↑i/ds^2+{↑i↓jk}d^2x↑j/ds^2d^2x↑k/ds^2=0　＊2
i=2、d^2θ/ds^2+(2/r)(dr/ds)(dθ/ds)-(sinθcosθ)(dψ/ds)^2=0　＊3
i=3、d^2ψ/ds^2+(2/r)(dr/ds)(dψ/ds)=0　＊4
i=4、d^2t/ds^2+(2m/r^2-2mr)(dr/ds)(dt/ds)=0　＊5

＊4積分
r^2dψ/ds=h　＊6
＊5積分
dt/ds=√(1+2E)/(1-2m/r)　＊7
h,E定数

＊1でθ=π/2、dθ=0
(dr/ds)^2-2m/r+(h/r)^2=2E+2mh^2/r^3　＊8
＊8←＊6
(d＾2/dψ^2)(1/r)^2+1/r^2=2E/h^2+(2m/h^2)(1/r)+2m(1/r)^3　＊9
ψ微分、2(d/dψ)(1/r)で割って
(d＾2/dψ^2)(1/r)+1/r=m/h^2+3m(1/r)^2　＊10
(d＾2/dψ^2)(1/r)+1/r=m/h^2（1+S)　＊11
u''+u=m/h^2（1+S)　＊12
S=3.0m(1/r)^2/(m/h^2)=3.0(1.0/r^2)r^4ψ'^2=3.0r^2((dt/ds)(dψ/dt))^2=3.0r^2(dψ/dt)^2(1/c^2)
r(dψ/dt)/c=v、(v=rω)、(v=V/c)なので
S=3.0v^2　＊13

したがって＊12より
F=mg(1.0+S)
g=GM/r^2

よって、シュワルツシルト時空の重力による加速度の式は
a=(GM/r^2)(1.0+3.0(V/c)^2)　＊13
r半径G万有引力定数M質量V軌道速度c光速度

＊12から
u''+u=m/h^2（1+3.0v^2)　＊14
A=m/h^2
ε=3mA≒3(k^2M^2)/(c^2H^2)　　　　(m=kM/c^2)
とおいて
u''+u=A+(ε/A)u^2
εが微小なので摂動項と考え、
u(ψ)=u0(ψ)+εu(ψ)+O(ε^2)
を仮定する、これを元の式に代入しなおして、εが微小なのでε^2=0とすると
u0''+εv''+u0+εv=A+A+(ε/A)u0^2　＊15
ε=0次
u''+u=A
微分方程式は
u0=A+Bcosψ　＊16
ε=1次
v''+v=u0^2/A
=A+2Bcosψ+(B^2/A)cos^2ψ
=A+2Bcosψ+(B^2/A)(1/2+(cos2ψ)/2)
=(A+B^2/2A)+2Bcosψ+(B^2/2A)cos2ψ　＊17

v=v1+v2+v3と分解
v1''+v2''+v3''+v1+v2+v3=(A+B^2/2A)+2Bcosψ+(B^2/2A)cos2ψ　＊18

v1''+v1=(A+B^2/2A),v2''+v2=2Bcosψ,v3''+v3=(B^2/2A)cos2ψ　＊19

v1=(A+B^2/2A)

v2=Bψ(asinψ+bcosφ)と仮定して
B(acosψ-bsinψ)+Bψ(-asinψ-bcosψ)+B(acosψ-bsinφ)+Bψ(-asinψ-bcosφ)=2Bcosψ
から、a=1
v2=Bψsinψ

同様に
v3=-(B^2/6A)cos2ψ

v=v1+v2+v3=A+B^2/A+Bψsinψ-(B^2/6A)cos2ψ　＊20

＊16＊20より
u=u0+εv=A+Bcosψ+ε(A+B^2/A+Bψsinψ-(B^2/6A)cos2ψ)
=A+εA+ε(B^2/A)+Bcosψ-ε(B^2/6A)cos2ψ+εBψsinψ　＊21

cos(ψ-εψ)=cosψcosεψ-sinψsinεψ=cosψ-εψsinψ
から
u=A+Bcos(ψ-εψ)+ε(A+B^2/A+Bψ-(B^2/6A)cos2ψ)
ψ(1-ε)=2nπ
ψ=2nπ+εψ≒2nπ(1+ε)

Δφ=2π(1+ε)
δφ=2πε=2π(3(k^2M^2)/(c^2H^2))=2π3.0(v/c)^2
=6π(47872.5/299792458)^2=4.806533e-7


よって、シュワルツシルト時空の重力による加速度の式は＊13より
V=＜1,Vx,Vy,Vz＞
P'=ψr(P+Vdt)=

|1　0　　　　　　　　　　　　 　0　　　　　　　　　　　　0　　　　　　　　　　　 |　｜　　 ｜

|0　(GM/r^2)(1.0+3.0(V/c)^2)　　0　　　　　　　　　　　　0　　　　　　　　　　　 |　｜P+Vdt｜

|0　0　　　　　　　　　　　　　(GM/r^2)(1.0+3.0(V/c)^2)　0　　　　　　　　　　　 |　｜ 　　｜

|0　0　　　　　　　　　　　　　 0　　　　　　　　　　　　(GM/r^2)(1.0+3.0(V/c)^2)|　｜ 　　｜
=＜Pt+dt,(GM/r^2)(1.0+3.0(V/c)^2)(Px+Vxdt),(GM/r^2)(1.0+3.0(V/c)^2)(Py+Vydt),(GM/r^2)(1.0+3.0(V/c)^2)(Pz+Vzdt)＞

P'=ψr(P+Vdt)=
＜Pt+dt,(GM/r^2)(1.0+3.0(V/c)^2)(Px+Vxdt),(GM/r^2)(1.0+3.0(V/c)^2)(Py+Vydt),(GM/r^2)(1.0+3.0(V/c)^2)(Pz+Vzdt)＞

P+Vdt=ψr^-1(P')=r^-1P'r=-(~r/r^2)P'r=P'-(~r/r^2)r=
＜Pt',((r^2/GM)/(1.0+3.0(V/c)^2))Px',((r^2/GM)/(1.0+3.0(V/c)^2))Py',((r^2/GM)/(1.0+3.0(V/c)^2))Pz'＞



SolarSystem3DXNA.zip
太陽系シュミレータ３ＤＸＮＡvbサンプルソース　　


太陽系シュミレータ３ＤＸＮＡスクリーンショット


時空方程式

・導出
α：二つの固有時間を観察者が同時に求める
観察者から見た物体Aの時間tA、観察者から見た物体Aの速度vA
観察者から見た物体Aの経路長LA=vAtA
τA^2=(1/γA)^2tA^2
=(1-vA^2/c^2)tA^2
tA^2=τA^2/(1-vA^2/c^2)
観察者から見た物体Bの時間tB、観察者から見た物体Bの速度vB
観察者から見た物体Bの経路長LB=vBtB
τB^2=(1/γB)^2tB^2
=(1-vB^2/c^2)tB^2
tB^2=τB^2/(1-vB^2/c^2)
ここで、αより、観察者の世界点が同じの時だから、t=tA=tB
↑観察者から見た観察者の運動時間t
＝観察者から見た物体Aの運動時間tA＝観察者から見た物体Bの運動時間tB
t^2=τA^2/(1-vA^2/c^2)=τB^2/(1-vB^2/c^2)
τA^2/(c^2-vA^2)=τB^2/(c^2-vB^2)
τA^2/(c^2-LA^2/t^2)=τB^2/(c^2-LB^2/t^2)
また、LA=vAt,LB=vBt、です
光速度：c=299792.458km/s：t：観察者から見た運動の経過時間
τA：物体Aの運動の経過時間：LA(t)：観察者から見た物体Aの運動の経路長関数：
τB：物体Bの運動の経過時間：LB(t)：観察者から見た物体Bの運動の経路長関数：
時空方程式：τA^2/(c^2-LA(t)^2/t^2)=τB^2/(c^2-LB(t)^2/t^2)

τA^2/(c^2-vA^2)=τB^2/(c^2-vB^2)
LA=vAt,LB=vBt
↑から↓を求める
τB^2=(τA^2/(c^2-vA^2))(c^2-vB^2)
τB^2=(τA^2/(c^2-LA^2/t^2))(c^2-LB^2/t^2)
vB^2=c^2-τB^2/(τA^2/(c^2-vA^2))
LB^2=t^2(c^2-τB^2/(τA^2/(c^2-LA^2/t^2)))

・検算

τA=86400s,vA=0km/s,vB=4km/s
τB^2=(τA^2/(c^2-vA^2))(c^2-vB^2)
=((86400)^2/((299792.458)^2-(0)^2))((299792.458)^2-(4)^2)
=(7464960000/89875517873.681764)( 89875517857.681764)
=7464959998.6710578940099168877692
τB=86399.999992309362812215109880874

τA=86399.999992309362812215109880874s,vA=4km/s,vB=0km/s
τB^2=(τA^2/(c^2-vA^2))(c^2-vB^2)
=((86399.999992309362812215109880874)^2/((299792.458)^2-(4)^2))((299792.458)^2-(0)^2)
=(7464959998.6710578940099168877689/89875517857.681764)(89875517873.681764)
=7464959999.9999999999999999999996
τB=86399.999999999999999999999999998

τA=86400s,vA=0km/s,vB=8km/s
τB^2=(τA^2/(c^2-vA^2))(c^2-vB^2)
=((86400)^2/((299792.458)^2-(0)^2))((299792.458)^2-(8)^2)
=(7464960000/89875517873.681764)( 89875517809.681764)
=7464959994.6842315760396675510769
τB=86399.999969237451244753085330775

τA=86399.999969237451244753085330775s,vA=8km/s,vB=0km/s
τB^2=(τA^2/(c^2-vA^2))(c^2-vB^2)
=((86399.999969237451244753085330775)^2/((299792.458)^2-(8)^2))((299792.458)^2-(0)^2)
=(7464959994.684231576039667551076/89875517809.681764)(89875517873.681764)
=7464959999.9999999999999999999991
τB=86399.999999999999999999999999995

τA=86399.999992309362812215109880874s,vA=4km/s,vB=8km/s
τB^2=(τA^2/(c^2-vA^2))(c^2-vB^2)
=((86399.999992309362812215109880874)^2/((299792.458)^2-(4)^2))((299792.458)^2-(8)^2)
=(7464959998.6710578940099168877685/89875517857.681764)(89875517809.681764)
=7464959994.6842315760396675510762
τB=86399.999969237451244753085330771

τA=86399.999969237451244753085330771s,vA=8km/s,vB=4km/s
τB^2=(τA^2/(c^2-vA^2))(c^2-vB^2)
=((86399.999969237451244753085330771)^2/((299792.458)^2-(8)^2))((299792.458)^2-(4)^2)
=(7464959994.6842315760396675510761/89875517809.681764)(89875517857.681764)
=7464959998.6710578940099168877684
τB=86399.999992309362812215109880869


t’=2A-(A/√(1-vB^2/c^2))
A=86400s,vA=0km/s,vB=4km/s
(A/√(1-vB^2/c^2))=86400/√(1-4^2/299792.458^2)= 86400.000007690637188469449151063
t’=(86400)*2-(86400/√(1-4^2/299792.458^2))= 86399.999992309362811530550848937

A=86400s,vA=0km/s,vB=8km/s
(A/√(1-vB^2/c^2))=86400/√(1-8^2/299792.458^2)=86400.000030762548766199859186075
t’=(86400)*2-(86400/√(1-8^2/299792.458^2))= 86399.999969237451233800140813925


τA=86400s,vA=0km/s
τB=86399.999992309362812215109880874s,vB=4km/s
τC=86399.999969237451244753085330775s,vC=8km/s


τA=86400s,vA=0km/s,vB=6km/s
τB^2=(τA^2/(c^2-vA^2))(c^2-vB^2)
=((86400)^2/((299792.458)^2-(0)^2))((299792.458)^2-(6)^2)
=(7464960000/89875517873.681764)( 89875517837.681764)
=7464959997.0098802615223129974808
τB=86399.999982696066326521336093198



相対論クォータニオンを用いると
P0=＜86399.9999923,0,0,0＞
v=4km/s
c=299792.458km/s
β=1.33425638e-5
√(1-β^2)=0.999999999911

xブーストは
β=V/cとして、

P'=ψr(P)=

|1/√(1-β^2)　　-β/√(1-β^2)　0　0|　｜ ｜

|-β/√(1-β^2)　1/√(1-β^2)　　0　0|　｜P｜

|0　　　　　　　　0　　　　　　　1　0|　｜ ｜

|0　　　　　　　　0　　　　　　　0　1|　｜ ｜


P0'=＜(1/0.999999999911)*86399.9999923,(-1.33425638e-5/0.999999999911)*86399.9999923,0,0＞
=＜86399.9999999,-1.15279751,0,0＞

P1=＜86399.99996923,0,0,0＞
v=8km/s
c=299792.458km/s
β=2.66851276e-5
√(1-β^2)=0.99999999964

P1'=＜(1/0.99999999964)*86399.99996923,(-2.66851276e-5/0.99999999964)*86399.99996923,0,0＞
=＜86400.000000,-2.305595,0,0＞

P0P1=＜86399.9999923*86399.99996923=7464959996,0,0,0＞
v=(4km/s+8km/s)/2=6km/s
c=299792.458km/s
β=2.001384e-5
√(1-β^2)=0.9999999998

P0P1'=＜(1/0.9999999998)*7464959996,(-2.001384e-5/0.9999999998)*7464959996,0,0＞
=＜7464959997,-149402.514996,0,0＞

P0P1'/86400=＜86399.99996527,-1.72919577,0,0＞

P2=＜86399.999982696,0,0,0＞
v=6km/s
c=299792.458km/s
β=2.001384e-5
√(1-β^2)=0.9999999998

P2'=＜(1/0.9999999998)*86399.999982696,(-2.001384e-5/0.9999999998)*86399.999982696,0,0＞
=＜86399.9999999,-1.72919577,0,0＞

P0P1'/86400≒P2'


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