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軸の直交と虚軸関係

複素数平面の回転変換としてのグラフ




軸の直交には虚数を用いるのが便利です

2次元は
(kr)^2=(ix)^2+(jy)^2
r:半径、xy:実部、ijk:虚部

何でこんな風にするかというと

回転行列は
|cosθ〇-sinθ|=R(θ)
|sinθ〇cosθ|
回転行列の積は
|cosφ〇-sinφ||cosθ〇-sinθ|=R(φ)R(θ)
|sinφ〇cosφ||sinθ〇cosθ|
計算すると
|cosφcosθ-sinφsinθ〇-cosφsinθ-sinφcosθ|
|sinφcosθ+cosφsinθ〇-sinφsinθ+cosφcosθ|
加法定理より
|cos(θ+φ)〇-sin(θ+φ)|=R(φ)R(θ)
|sin(θ+φ)〇cos(θ+φ)|
だからφ=θならば
|cos(2θ)〇-sin(2θ)|=R^2(θ)=R(2θ)
|sin(2θ)〇cos(2θ)|
2回θ回転するんだから2θもそりゃそうですね
ここでθ=π/2の時
|-1〇0|=R^2(π/2)=R(π)=-I
|0〇-1|
つまりθ=π/2回転において回転の2乗は-1倍の単位行列Iです
このことから虚軸とは実軸からπ/2回転しているということです
こういうことを考えると

(kr)^2=(ix)^2+(jy)^2
r:半径、xy:実部、ijk:虚部

と2次元はこんな感じになるんです

まぁ、こんな長ったらしい説明じゃなくても

π/2を2回回転する時、結局πの回転だから負の単位行列になり

つまり直交軸とは虚軸(X^2=R^2(π/2)=-I)である

πを2回回転する時、結局2πの回転だから正の単位行列になり

つまり(X^4=R^4(π/2)=I)である

なんだけれどね


また、軸の直交とは
内積dot=|x||y|cosθ
であり
例えばxのy軸回転において
π/2回転はdot=0
π/2回転の２回回転のπ回転はdot=-1

になるよんってことなんす

と、もちろん内積からも言えるん

だから、要するに軸に虚数単位をかけて、虚軸にしてやれば、軸同士は直交関係にあり
また虚軸であるからπ/2２回回転のπ回転は-Iであるということなん

またπの定義とはアルキメデスの原理
ピタゴラスの定理フーリエ変換
三角関数円の性質等によるものです
別に普通に電卓で
π=3.1415926...
π/2=1.5707967...
2π=6.2831853...
だよ
そして2π=360°というのは天文学で地球の1年間が
365.2425日であるからその近くの自然数で約数の多い数で
360のいう値が選ばれましたつまり1日約1°天球が回転する


あなたの見ている正面の世界がプラスの世界で
背後の世界がマイナスの世界で真横の世界が虚数の世界です
厳密には上下が違うのですが背後のマイナスの世界を
分かりやすく説明すれば正面に鏡を置けばあなたの背後の
マイナスの世界があなたにもなんとなく見えますよということです


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