電卓で相対性理論を解く方法

特殊相対性理論は
F=-(GmM/R^2)(1-0.5(V/C)^2)

一般相対性理論は
F=-(GmM/R^2)(1+3.0(V/C)^2)

特殊と一般合わせて
F=-(GmM/R^2)(1+2.5(V/C)^2)

これを電卓でポチポチやれば解けます

一般の証明#################################################

計量(c,i,j,k)のシュワルツシルト(球対称性を持つアインシュタイン方程式の真空解)の線素は
c光速度t座標時r動径座標θ余緯度座標φ経度座標2m=rsシュワルツシルト半径=2GM/c^2M質量
ds^2=(1-rs/r)c^2dt^2-dr^2/(1-rs/r)-r^2dθ^2-r^2sin^2θdψ^2
ds^2=(1-2m/r)c^2dt^2-dr^2/(1-2m/r)-r^2dθ^2-r^2sin^2θdψ^2・・・(*1)
その変分問題
δ∫((1-2m/r)c^2(dt/ds)^2-(dr/ds)^2/(1-2m/r)-r^2(dθ/ds)^2-r^2sin^2θ(dψ/ds)^2)ds=0・・・(*2)
各成分に対する方程式を導出すると
i=1,r,(*1)/ds^2
1=(1-2m/r)c^2(dt/ds)^2-(dr/ds)^2/(1-2m/r)-r^2(dθ/ds)^2-r^2sin^2θ(dψ/ds)^2・・・(*1A)
i=2,θ,
(d/ds)(r^2(dθ/ds))=r^2sinθcosθ(dψ/ds)^2・・・(*1B)
i=3,ψ,
(d/ds)(r^2sin^2θ(dψ/ds))=0・・・(*1C)
i=0,ct
(d/ds)((1-2m/r)(dt/ds))=0・・・(*1D)
成分を選んで
θはπ/2、dθ/ds=0、の赤道面上での話とし、θは定数なので(*1B)は無視する
ψは(*1C)よりr^2(dψ/ds)=h(定数)角運動量保存・・・(*3)
tは(*1D)より(1-2m/r)(dt/ds)=l(定数)エネルギー量保存・・・(*4)
(*1A)より
(1-2m/r)=(cl)^2-(dr/ds)^2-(h/r)^2(1-2m/r)・・・(*5)
rをψの関数として微分したものは
(d/dψ)(r(ψ))=r'=(dr/ds)(ds/dψ),(*3)より
(dr/ds)=r'(dψ/ds)=hr'/r^2,r=1/u,r'=-u'/u^2,(*5)より
(1-2mu)=(cl)^2-(hu')^2-(hu)^2(1-2mu)
u'^2=((cl)^2-1)/h^2+2mu/h^2-u^2+2mu^3・・・(*6)
ψで微分して
2u'u''=2mu'/h^2-2uu'+6mu^2u'・・・(*7)
u'=0,u=1/r(定数)という解は円軌道
u''+u=m/h^2+3mu^2・・・(*8)
この式はu''+u=m/h^2が万有引力の式に対応しイメージしてみると
シュワルツシルト時空の重力による加速度RelativeGravityの式は
r半径,G万有引力定数,M質量,V軌道速度,c光速度,S相対論補正項
Rg=-(GM/r^2)(1+S)
の形であるから、ここでh=r^2dψ/ds,m=kM/c^2,u=1/r,であって
相対論補正項3mu^2を検証すると、m/h^2でくくり
u''+u=(m/h^2)(1+3mu^2/(m/h^2)=(m/h^2)(1+S)の形にして、Sを調べます
3mu^2/(m/h^2)=3u^2h^2=3(1/r^2)(r^2dψ/ds)^2=3r^2((dt/ds)(dψ/dt))^2=3r^2(dψ/dt)^2(1/c^2)
=3(rdψ/dt)^2(1/c^2)
(rdψ/dt)は円の接線方向の速度だからそれを軌道速度Vとみれば3(V/c)^2と解けて
相対論補正項S=3(V/c)^2だから
ユークリッド幾何で
シュワルツシルト時空の重力による加速度RelativeGravityの式は
r半径,G万有引力定数,M質量,V軌道速度,c光速度,S相対論補正項
Rg=-(GM/r^2)(1+S)=-(GM/r^2)(1+3(V/c)^2)
と解ける

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計算例

地球質量5.972e+24kg
地球半径6.371e+6[m]
光速度299792458[m/s]
一日86400[s]

GPS衛星
速度4000[m/s]
高度26556752[m]

特殊相対論効果-7.2e-6[s/day]
一般相対論効果45.6e-6[s/day]
足して38.4e-6[s/day]


相対論補正項は

特殊
-0.5(V/C)^2=-8.9e-11
一日当たり
-8.9e-11*86400=-7.69e-6

一般
3.0(V/C)^2=5.34e-10
一日当たり
5.34e-10*86400=4.61e-5

特殊+一般
2.5(V/C)^2=4.45e-10
一日当たり
4.45e-10*86400=3.85e-5

と電卓を何回か弾くだけで簡単に解けます





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