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計量(c,i,j,k)のシュワルツシルト(球対称性を持つアインシュタイン方程式の真空解)の線素は
τ固有時間ｃ光速度ｔ座標時ｒ動径座標θ余緯度座標φ経度座標2m=ｒｓシュワルツシルト半径＝２ＧＭ／ｃ＾２M質量
ds^2=(1-rs/r)c^2dt^2-dr^2/(1-rs/r)-r^2dθ^2-r^2sin^2θdψ^2
ds^2=(1-2m/r)c^2dt^2-dr^2/(1-2m/r)-r^2dθ^2-r^2sin^2θdψ^2･･･(*1)
その変分問題
δ∫((1-2m/r)c^2(dt/ds)^2-(dr/ds)^2/(1-2m/r)-r^2(dθ/ds)^2-r^2sin^2θ(dψ/ds)^2)ds=0･･･(*2)
各成分に対する方程式を導出すると
i=1,r,(*1)/ds^2
1=(1-2m/r)c^2(dt/ds)^2-(dr/ds)^2/(1-2m/r)-r^2(dθ/ds)^2-r^2sin^2θ(dψ/ds)^2･･･(*1A)
i=2,θ,
(d/ds)(r^2(dθ/ds))=r^2sinθcosθ(dψ/ds)^2･･･(*1B)
i=3,ψ,
(d/ds)(r^2sin^2θ(dψ/ds))=0･･･(*1C)
i=0,ct
(d/ds)((1-2m/r)(dt/ds))=0･･･(*1D)
成分を選んで
θはπ/2、dθ/ds=0、の赤道面上での話とし、θは定数なので(*1B)は無視する
ψは(*1C)よりr^2(dψ/ds)=h(定数)角運動量保存･･･(*3)
tは(*1D)より(1-2m/r)(dt/ds)=l(定数)エネルギー量保存･･･(*4)
(*1A)より
(1-2m/r)=(cl)^2-(dr/ds)^2-(h/r)^2(1-2m/r)･･･(*5)
rをψの関数として微分したものは
(d/dψ)(r(ψ))=r'=(dr/ds)(ds/dψ),(*3)より
(dr/ds)=r'(dψ/ds)=hr'/r^2,r=1/u,r'=-u'/u^2,(*5)より
(1-2mu)=(cl)^2-(hu')^2-(hu)^2(1-2mu)
u'^2=((cl)^2-1)/h^2+2mu/h^2-u^2+2mu^3･･･(*6)
ψで微分して
2u'u''=2mu'/h^2-2uu'+6mu^2u'･･･(*7)
u'=0,u=1/r(定数)という解は円軌道
u''+u=m/h^2+3mu^2･･･(*8)
この式はu''+u=m/h^2が万有引力の式に対応しイメージしてみると
シュワルツシルト時空の重力による加速度RelativeGravityの式は
r半径,G万有引力定数,M質量,V軌道速度,c光速度,S相対論補正項
Rg=-(GM/r^2)(1+S)
の形であるから
ここで、h=r^2dψ/ds,m=kM/c^2,u=1/r,であって
相対論補正項3mu^2を検証すると、m/h^2でくくり
u''+u=(m/h^2)(1+3mu^2/(m/h^2)=(m/h^2)(1+S)の形にして、Sを調べます
3mu^2/(m/h^2)=3u^2h^2=3(1/r^2)(r^2dψ/ds)^2=3r^2((dt/ds)(dψ/dt))^2=3r^2(dψ/dt)^2(1/c^2)
=3(rdψ/dt)^2(1/c^2)
(rdψ/dt)は円の接線方向の速度だからそれを軌道速度Vとみれば、3(V/c)^2と解けて
相対論補正項S=3(V/c)^2だから
ユークリッド幾何で
シュワルツシルト時空の重力による加速度RelativeGravityの式は
r半径,G万有引力定数,M質量,V軌道速度,c光速度,S相対論補正項
Rg=-(GM/r^2)(1+S)=-(GM/r^2)(1+3(V/c)^2)
と解ける
(*8)より
u''+u=A+εu^2･･･(*9)
u0=A+Bcosφとおくと
u(φ)=u0(φ)+εu1(φ)+ε^2u2(φ)+･･･
ε^2は小さいので無視する
u(φ)=A+Bcos((1+εk)φ)+εu1(φ)+･･･
u1''+u1=A^2+B^2cos^2φ+2(AB+kB)cosφ
k=-Aとして
u1''+u1=A^2+B^2cos^2φ=A^2+B^2(1+cos^2φ)/2=A^2+B^2/2+B^2cos^2φ/2=A^2+B^2/2-B^2cos^2φ/6
(*9)の近似解は
u(φ)=A+Bcos((1-εA)φ)+ε(A^2+B^2/2-B^2cos^2φ/6)
A=B=m/h^2=1/l,ε=3m,m=rs/2
u(φ)=(1/l)(1+cos((1-(3rs/2l))φ))+(9rs/4l^2)/2-(rs/4l^2)cos^2φ
第1項に注目しずれを調べる
cos((1-(3rs/2l))(2π+δφ))=-1
(1-(3rs/2l))(2π+δφ)=2π
δφ=3πrs/l
長軸L=2l/(1-e^2),離心率e,l=L(1-e^2)/2,r=L/2
δφ=3πrs/(r(1-e^2))[rad]
δφ=3(648000)rs/(r(1-e^2))[秒]
水星の離心率e=0.20563
水星の軌道長半径r=L/2=0.3871[AU]
1[AU]=149598700000[m]
水星の軌道長半径r=57909656770[m]
太陽のシュバルツシルト半径rs=2953[m]
水星の平均軌道速度V=47872.5[m/s]
光速度c=299792458[m/s]
V=√(rsc^2/2r)=47869.83528656[m/s]
V/c=1.596854714737e-4
(1-e^2)=0.9577163031
3π=9.42477796
3*360*60*60/2=1944000
2(V/c)^2=rs/r
rs/r=5.09932222829e-8
2(V/c)^2=5.09988996e-8
δφ=3π2(V/c)^2/(1-e^2)[rad]
δφ=5.018744e-7[rad]
δφ=3(648000)2(V/c)^2/(1-e^2)[秒]
δφ=0.10352[秒]
100年間の水星の近日点移動0.10352*415=42.9608[秒]
光の湾曲
rg太陽のシュバルツシルト半径=2.95e+6[m]、rs太陽の半径=6.955e+8[m]として
2rg/rs=4GMs/rsc^2=8.48e-6[rad]=1.75[秒]
シュワルツシルト時空の重力による加速度RelativeGravityの式は
r半径,G万有引力定数,M質量,V軌道速度,c光速度,S相対論補正項
Rg=-(GM/r^2)(1+S)=-(GM/r^2)(1+3(V/c)^2)
万有引力定数G=6.67259e-11[m^3/kgs^2]、光速度：c=299792458[m/s]、太陽の質量Ms=1.9891e+30[kg]、
太陽の直径2rsだけ進むのに速度cがかかる時間tは
t=2rs/c
その曲がる速度vは
v=Rgt
Rg=-(GM/r^2)(1+3(V/c)^2)=-4GMs/rs^2
ゆえに
tanθ=v/c=(4GMs/rs^2)(2rs/c)/c=8GMs/rsc^2
θは１に比べて小さいから近似でき
θ=8GMs/rsc^2
あるいは
xy平面運動する物体の運動方程式
d^2x/dt^2=-4GMx/(x^2+y^2)^(2/3)
d^2y/dt^2=-4GMy/(x^2+y^2)^(3/2)
y軸に平行にx=rsを通る軌道x=rs,y=ct
d/dt≒cd/dy
d^2x/dy^2=-4GMsrs/c^2(rs^2+y^2)^(2/3)
近似解は
x=rs-(4GMs/rsc^2)√(rs^2+y^2)
|y|→∞でx→rs-(4GMs/rsc^2)|y|
したがって光の進行方向の変化δ
δ=8GMs/rsc^2
一般相対論だと
δ=4GMs/rsc^2
であるから
シュワルツシルト時空の重力による加速度RelativeGravityの式は
r半径,G万有引力定数,M質量,V軌道速度,c光速度,S相対論補正項
Rg=-(GM/r^2)(1+S)=-(GM/r^2)(1+1(V/c)^2)
であれば、うまくいくのではないか
2r(V/c)^2=rs
重力源シュワルツシルト半径＝直径×（軌道速度／光速度）^2
＠１
太陽のシュバルツシルト半径rs=2953[m]
光速度c=299792458[m/s]
水星の軌道長半径r=57909656770[m]
水星の平均軌道速度V=47872.5[m/s]
rs=2r(V/c)^2=2953.328771
金星の軌道長半径r=108208930000[m]
金星の平均軌道速度V=35021.4[m/s]
rs=2r(V/c)^2=2953.37571
地球の軌道長半径r=149597870700[m]
地球の平均軌道速度V=29780[m/s]
rs=2r(V/c)^2=2952.31972872
火星の軌道長半径r=227936640000[m]
火星の平均軌道速度V=24130.9[m/s]
rs=2r(V/c)^2=2953.5870263
木星の軌道長半径r=778412010000[m]
木星の平均軌道速度V=13069.7[m/s]
rs=2r(V/c)^2=2958.893649
土星の軌道長半径r=1426725400000[m]
土星の平均軌道速度V=9672.4[m/s]
rs=2r(V/c)^2=2970.2806
天王星の軌道長半径r=2870990000000[m]
天王星の平均軌道速度V=6800[m/s]
rs=2r(V/c)^2=2954.18776416
海王星の軌道長半径r=4495060000000[m]
海王星の平均軌道速度V=5500[m/s]
rs=2r(V/c)^2=3025.8644
一般相対性理論万有引力加速度Rg＝-(GM/r^2)(1+S)=-(GM/r^2)(1+K(V/c)^2)
r半径,G万有引力定数,M質量,V軌道速度,c光速度,S相対論補正項
K=1or2or3or3/r←これは小さすぎ
K=1のとき
Rg＝-(GM/r^2)(1+(V/c)^2)
きれいな形
光の湾曲を満足する
K=2のとき
2(V/c)^2=rs/r
の関係があるから
Rg＝-(GM/r^2)(1+2(V/c)^2)＝-(GM/r^2)(1+rs/r)
きれいな形
確かめ算はない
K=3のとき
Rg＝-(GM/r^2)(1+3(V/c)^2)
3乗からの微分係数が出て3という係数ならそうかも
水星の近日点移動を満足する
どれか迷う
GPS衛星、速度は地球に対して毎秒約4000m。軌道は地球中心から26556752m
特殊相対性理論の効果によりGPS衛星の原子時計は１日に7.2マイクロ秒ほど遅れます。
一般相対性理論の効果から今度は１日あたり45.6マイクロ秒、時間が進む。
差し引きで38.4マイクロ秒、時間が進んでしまいます。
t'=t√(1-rs/r)=t√(1-2(v/c)^2)
2(v/c)^2=3.56048e-16
地球シュワルツシルト半径rs=0.009
r=26556752
rs/r=3.38896865e-10
GPS衛星は人工物だから
＠１
のような完璧な軌道設定じゃないんだね
月で調べてみると
rs=0.009
r=384400000
rs/r=2.341311e-11
v=1022
2(v/c)^2=2.32429e-11
こういう風に完璧な軌道設定
直感では
墜落軌道：rs/r＞2(v/c)^2
安定軌道：rs/r=2(v/c)^2
離脱軌道：rs/r＜2(v/c)^2
な気がするがどうだろう？
地球質量5.972e+24kg
地球半径6.371e+6[m]
GPS衛星
速度4000[m/s]
高度26556752[m]
特殊相対論効果-7.2e-6[s/day]
一般相対論効果45.6e-6[s/day]
足して38.4e-6[s/day]
相対論補正項は
α(v/c)^2=(4000/299792458)^2=1.78e-10α
1.78e-10α*86400=15.3e-6α=38.4e-6
α=2.5
係数のマジックナンバーは2.5だとつじつまが合う
でもこれは怪しいので
一般相対論だけとして再計算
相対論補正項は
α(v/c)^2=(4000/299792458)^2=1.78e-10α
1.78e-10α*86400=15.3e-6α=45.6e-6
α=3.0
係数のマジックナンバーは3だとつじつまが合う
これはいやマジで計算通り
ついでに特殊相対論として計算
相対論補正項は
α(v/c)^2=(4000/299792458)^2=1.78e-10α
1.78e-10α*86400=15.3e-6α=-7.2e-6
α=-0.5
で本当にいかがわしいけれど
α=3.0-0.5=2.5
で特殊＋一般効果
したがって
シュワルツシルト時空の重力による加速度RelativeGravityの式は
r半径,G万有引力定数,M質量,V軌道速度,c光速度,S相対論補正項
Rg=-(GM/r^2)(1+S)
相対論補正項S=2.5(V/c)^2
かな
